Anxn+an-1xn-1+…+a1x+A0 = 0 (1
뿌리는 대수수라고 하는데, 여기서 ai 는 유리수이다. 따라서 모든 유리수와 부분 무리수는 대수수이다. 모든 유리수 (방정식 x-c=0 의 루트, 2 는 x2-2=0 의 루트) 이기 때문이다. 대수수가 아닌 수를 초월수라고 합니다. 오일러가 "대수학 방법의 능력을 넘어섰습니다." 라고 말했기 때문입니다. " 오일러는 적어도 1744 에서 대수수와 초월수의 이런 차이를 인식했다. 그는 유리수에 기반한 유리수의 로그가 반드시 유리수이거나 초월수여야 한다고 추측했다. 그러나 18 세기에는 어떤 숫자가 초월수인지 알 수 없었다. 초월수의 존재를 증명하는 문제가 아직 해결되지 않았기 때문이다.
19 세기 중반에는 대수학 무리수와 무리수를 뛰어넘는 일이 무리수를 더 잘 이해하는 데 한발짝 다가섰다. 대수학 무리수와 무리수를 뛰어넘는 차이는 이미 19 세기에 완성되었다. 흥미롭게도, 초월수의 존재성에 대한 증거는 두 가지 방법으로 이루어진다는 것이다. 이런 이유로, 우리는 다시 그들의 단서를 주웠다.
한편, 1844 년 전까지만 해도 초월수의 문제는 해결되지 않았지만, 이번 해에 유빌은 다음과 같은 형태의 어떤 숫자도 초월한다는 것을 증명했다.
A 1 10 1! +a2 102+a3 103! +.
여기서 ai 는 0 에서 9 까지의 정수입니다.
앞서 언급한 결론을 증명하기 위해 유빌은 먼저 유리수로 대수학 무리수에 접근하는 것에 관한 몇 가지 정리를 증명했다. 대수 수는 대수 방정식 (1) 을 충족하는 실수 또는 복수입니다. 여기서 ai 는 정수입니다. N 차 대수 수라고 하는 뿌리는 N 차 방정식을 만족시키지만 N 회 이하의 방정식을 만족시키지 못한다는 것을 의미한다. 일부 대수학은 유리수이며 모두 선형이다. 유빌은 p/q 가 N 차 대수학 무리수 X 의 근사치인 경우 양수 m-make 가 있음을 증명했다.
| x-pq |>；; Mqn
여기서 P 와 q> 1 은 정수입니다. 이는 N 차 대수학의 무리수에 대한 합리적인 근사 p/q 의 정확도가 m/qn 에 미치지 않아야 함을 보여줍니다. 즉, X 가 N 번의 대수학 무리수라면, 부등식 | x-pq |； 를 만드는 양수 M 이 있어야 합니다. 1 따라서 μ≤ n 이 성립되기 때문에 고정 M 의 경우 위의 부등식이 각 양의 정수 μ에 대해 p/q 를 풀면 X 는 초월수입니다. 유빌은 그의 무리수가 상술한 최종 조건을 충족한다는 것을 증명하여 그의 수가 초월수라는 것을 증명했다.
한편, 칸토 (1845 ~ 19 18) 는 집합론에서 대수수 집합 수 증명을 받았다. 대수학이 아닌 실수가 있을 것이다. 이런 수를 초월수라고 한다. 그의 증명은 이렇다.
위에서 설명한 대로 대수학 수는 방정식 (1) 을 충족하는 실수 또는 복수입니다. 여기서 AK 는 정수입니다. 대수수의 개념은 유리수의 자연 확장이다. 이는 n = 1 의 특수한 형태를 형성하기 때문이다.
그러나 모든 실수가 대수적 인 것은 아닙니다. 이 차이는 칸토르가 모든 대수학이 셀 수 있다는 것을 증명하면 알 수 있다. 모든 실수의 집합은 셀 수 없기 때문에 대수학이 아닌 실수가 있어야 합니다.
대수학 집합을 셀 수 있는 시퀀스로 정렬하는 방법은 다음과 같습니다. 각 (1) 형태의 방정식에 양의 정수를 넣습니다.
H = | an |+| an-1+...+| a1|+| A0 |+n (2)
해당 "높이" 로 설정합니다. 결정된 각 H 에 대해 높이가 H 인 방정식은 유한 (1) 이며, 각 방정식에는 최대 N 개의 다른 루트가 있습니다. 따라서 높이가 H 인 방정식에서 얻은 대수학 수는 제한되어 있으므로 모든 대수학을 한 열로 배열할 수 있습니다. 즉, 높이가 1 인 대수학 수를 먼저 배열한 다음 높이가 2 인 대수학 수를 배열할 수 있습니다. 등등. 이것은 초월수 이론을 더욱 보완했다. 초월수의 존재를 입증할 뿐만 아니라, 초월수의 이론을 더욱 보완했다. 초월수의 존재를 증명할 뿐만 아니라, 그것이 셀 수 없는 집합이라는 점을 더욱 지적한다. 우리나라의 위대한 학자, 수학자 화교수가' 수론도론' 이라는 책에서 "초월수의 존재성이 증명되었다. 거의 모든 실수가 초월수다. 대수수를 포괄하는 집합은 단지 숫자집일 뿐이다!" 라고 한탄한 것도 놀라운 일이 아니다.
특별한 초월수를 이해하다. 앞으로 나아가는 두 번째 단계는 Hermite 가 E 가 1873 의 초월수임을 증명하는 것이다. 이 결과를 얻은 후 엘미트는 칼 윌리엄 보로하트 (18 17 ~ 1880) 에게 "π의 초월성을 증명하려고 할 엄두가 나지 않는다" 고 편지했다. 만약 다른 사람이 이 일을 맡는다면, 나보다 그들의 성공에 더 기뻐하는 사람은 아무도 없지만, 나를 믿어라, 나의 사랑하는 친구, 이것은 결코 그들에게 약간의 노력을 들이지 않을 것이다.
르장드는 일찍이 파이가 초월수인 페르디난 린드먼이라고 추측했다. (페란 린드만. 1852- 1939) 1882 에서 이 추측은 본질적으로 엘미트와 같은 방법으로 증명되었다. 린드먼은 X 1, X2, ..., XN 이 다른 대수학이지만 p 1 이라고 지적했다.
P1ex1+p2ex2+...+pnexn
0 일 필요는 없습니다. N = 2, p 1 = 1, x2 = 0 을 취하면 x 1 이 0 이 아닌 대수학일 때 ex/kloc-0-을 볼 수 있습니다 X 1 은 1, e 는 초월수이며, 현재 Eiπ+ 1 = 0 으로 알려져 있으므로 수 I π는 대수가 될 수 없습니다. 두 대수의 곱은 대수수이고, I 는 대수수이므로, 파이는 대수수가 아니다. π는 숫자를 뛰어넘는 증명으로 유명한 기하학 문제' 원형 문제' 의 마지막 항목을 해결했다. 모두 사용할 수 있기 때문이다.
하나의 기본 상수에 관한 것은 여전히 수수께끼로 남아 있다. 오일러 상수 γ.
γ = lim (1+12+...+1n-lnn)
약 0 입니다. 5772 1564490 은 분석에서 중요한 역할을 합니다. 특히 γ 함수와 ζ(s) 함수 연구에서 유리수인지 무리수인지 미지수인지 알 수 없습니다. 이에 대해 대수학자 힐버트는 전 세계의 수학자들에게' 쉴 새 없이 지껄이는 지경에 이르렀다' 고 거듭 호소했다. 최근 리만 ζ 함수와 오일러 상수의 관계 표현식은 γ = σ ∞ n = 2 (-1) nn ζ (s) 로 밝혀졌다. 그리고 관계 σ ∞ n =1ζ (2n+1) (n+1) =1-; 오일러 상수가 비합리적인지 여부는 리만 ζ 함수와 밀접한 관련이 있습니다 (Re(s) 가 양의 홀수인 경우).