증명 1(교과서 증명)
두 직각삼각형의 길이를 각각 a와 b로 하고 빗변의 길이를 c로 하여 합동인 직각삼각형을 만들어 보세요. , 그리고 변의 길이가 a, b, c인 정사각형 3개를 만들어 위 그림과 같이 두 개의 정사각형으로 만듭니다.
그림에서 볼 수 있듯이 이 변의 길이는 두 개의 정사각형 그것들은 모두 a + b이므로 면적은 동일합니다. 즉,
정리됩니다.
증명 2(Zou Yuanzhi 증명)
a와 b가 직각이라고 가정합니다. c를 빗변으로 하여 합동인 직각삼각형 4개를 만든다면, 각 직각삼각형의 넓이는 위와 같고, 세 점 B, F, C는 직선 위에 있고, 세 점 C, G, D는 직선 위에 있습니다.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠ BEF.
∵ ∠ AEH + ∠AHE = 90?,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.
∴ ∠HEF = 180?― 90?= 90?.
∴ 사변형 EFGH는 변의 길이가 c
인 정사각형입니다. 그 면적은 c2입니다.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?.
또한 ∵ ∠GHE = 90?,
∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.
∴ ABCD는 변의 길이가 a + b인 변입니다. 정사각형의 면적은 같습니다 .
∴ . ∴ .
증명 3(Zhao Shuang 증명)
a와 b를 직각 변이라고 하자(b >a). c를 기울기로 사용하여 4개의 합동 직각삼각형을 구성하면 각 직각삼각형의 면적은 이 4개의 직각삼각형으로 나눕니다
각도는 그림과 같은 모양으로 조립됩니다.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90?,
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?,
∴ ABCD는 한 변의 길이가 c인 정사각형이고 넓이는 c2입니다. .
∵ EF = FG =GH =HE = b―a,
∠HEF = 90?.
∴ EFGH는 한 변의 길이가 b인 정사각형입니다. ―a, 그 면적은 .
∴ .
∴ .
증명 4(1876년 미국 대통령 가필드가 증명)
a에서 b는 직각변이고, c는 합동인 두 직각삼각형을 구성하는 빗변이므로, 각 직각삼각형의 넓이는 이 두 직각삼각형을 에 넣으면 다음과 같습니다. 그림과 같은 모양으로 A, E, B 점이 직선이 됩니다.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90?
∴ ∠DEC = 180?―90? = 90?.
∴ ΔDEC는 이등변 직각 삼각형이고,
그 면적은 다음과 같습니다.
그리고 ∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,
∴ AD"BC.
∴ ABCD는 직각 사다리꼴이고 그 면적은 다음과 같습니다.
∴ .
∴ .
증명 5(메이 웬딩 증명)
합동인 직각삼각형 4개를 만드세요. 두 직각변의 길이를 a와 b로 하세요. 각각 빗변의 길이는 c가 됩니다. 그림과 같이 다각형으로 묶습니다.
D, E, F가 직선 위에 있도록 C를 지나는 AC의 연장선을 그리고 점 P에서 DF와 교차합니다.
∵ D, E, F가 직선 위에 있습니다. 및 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
p>
∴ ∠BEG =180?-90?= 90?.
그리고 ∵ AB = BE = EG = GA = c,
p>
∴ ABEG는 변의 길이가 c의 제곱입니다.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90?.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
p>
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?
즉, ∠CBD= 90?
p>그리고 ∵ ∠BDE = 90?, ∠BCP = 90?,
BC = BD = a.
∴ BDPC는 한 변의 길이가 a인 정사각형입니다.
마찬가지로 HPFG는 변의 길이가 b인 정사각형이다.
다각형 GHCBE의 면적을 S라고 가정하면
,
∴ .
증명 6(항명달의 증명)
두 개의 합동 직각삼각형을 만들고, 두 직각변의 길이를 각각 a와 b로 두고, (b>a), 그리고 빗변의 길이는 c가 됩니다. 그런 다음 그림과 같이 세 점 E, A, C가 직선이 되도록 다각형으로 만듭니다. p>점 Q를 통과하여 QPʼBC를 그리고 점 P에서 AC와 교차합니다.
점 B를 통과하여 BM⊥PQ를 만들고 수직 발은 M이 되며 점 F를 통과합니다. p>
FN⊥PQ, 수직 발은 N입니다.
∵ ∠BCA = 90?, QPʼBC,
∴ ∠MPC = 90?,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90?,
∴ BCPM은 직사각형, 즉 ∠MBC = 90?.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90?,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90?,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
그리고 ∵ ∠BMP = 90?, ∠BCA = 90?, BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
마찬가지로, RtΔQNF ≌ RtΔAEF임을 증명했습니다.
따라서 문제는 증명 4(메이 웬딩의 증명)로 변환됩니다.
증명 7(유클리드 증명)
3개 만들기 한 변의 길이가 a, b, c인 정사각형을 그림과 같은 모양으로 만들어 H, C, B가 세 점이 되도록 직선으로 BF와 CD를 연결하세요. . C를 통해 CL⊥DE를 그리고
점 M에서 AB와 교차하고, 점
L에서 DE와 교차합니다.
∵ AF = AC, AB = AD. ,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB 의 면적은 ,
ΔGAD의 면적은 직사각형 ADLM 면적의 절반과 같습니다
,
∴ 직사각형 ADLM의 면적 = .
마찬가지로 직사각형 MLEB의 면적 = .
∵ 정사각형 ADEB의 면적
= 직사각형 ADLM의 면적임을 증명할 수 있다. + 직사각형 MLEB의 면적, 즉 .
증명 8 (유사삼각형의 성질을 이용하여 증명)
다음과 같이 그림, RtΔABC에서 직각 변 AC와 BC의 길이를 각각 a와 b로 하고, 빗변 AB의 길이를 c라고 하고, 점 C를 지나는 CD⊥AB, 수직발을 D라고 합니다. .
ΔADC와 ΔACB에서
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?,<
/p>
∠CAD = ∠BAC,
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD:AC = AC:AB,
즉,
그렇습니다.
p>
마찬가지로 ΔCDB ∽ ΔACB가 증명될 수 있으므로 존재합니다.
∴, 즉.
증명 방법 9(양쭤메이의 증명)
Do 두 개의 합동 직각삼각형에 대해 두 직각변을 a와 b(b>a)로 하고 빗변의 길이를 c로 합니다. 변의 길이가 있는 정사각형을 만듭니다. 그림과 같이 그림과 같이 다각형을 그립니다. A를 통해 AF⊥AC를 그리고 AF는 F에서 GT와 교차하며, AF는 R에서 DT를 교차합니다. B를 통해 BP⊥AF를 그리고 수직을 그립니다. 발은 P입니다. CB의 연장선에 수직인 D를 통해 DE를 그리고 수직 발은 E입니다. , DE는 AF를 H로 교차합니다.
∵ ∠BAD = 90?, ∠PAC = 90?,
∴ ∠DAH = ∠BAC.
그리고 ∵ ∠DHA = 90?, ∠BCA = 90?,
AD = AB = c,
p>
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a , AH = AC = b.
PBCA가 직사각형이라는 방법을 보면 알 수 있는데,
그러므로 RtΔAPB ≌ RtΔBCA, 즉 PB =
CA = b, AP = a이므로 PH = b―a
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA. ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a, ∠GDT =
그리고 ∵ ∠DGT = 90?, ∠DHF = 90?,
∠GDH = ∠GDT + ∠ TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90?,
∴ DGFH는 변의 길이가 a인 정사각형
∴ GF = FH = a . TF⊥AF, TF = GT― GF = b―a .
∴ TFPB는 직각 사다리꼴입니다. 위쪽 밑면 TF=b―a, 아래쪽 밑면 BP= b, 높이 FP=a + (b―a)입니다.
숫자를 사용하여 면적 수를 나타냅니다(그림 참조). 그림), 변의 길이가 c인 정사각형의 면적은
①
∵ = ,
,
∴ = . ②
②를 ①에 대입하면
= = .
∴ .
증명 10(증명 by Li Rui)
직각 삼각형의 두 직각 변의 길이가 a와 b라고 가정하고(b>a) 빗변의 길이는 c입니다. , 정사각형 b와 c에 대해 그림과 같이 세 점 A, E, G가 일직선이 되도록 조합하여 면적의 수를 나타냅니다(그림과 같이). 사진).
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90?,
∴ ∠TBH = ∠ABE.
그리고 ∵ ∠BTH = ∠BEA = 90 ?,
BT = BE = b,
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
그리고 ∵ ∠GHF + ∠BHT = 90?,
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90?,
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a,
∠HGF = ∠BDC = 90?,
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC입니다.
p>
Q를 통해 QM⊥AG를 구성하고 수직 발은 M입니다. ∠BAQ = ∠BEA = 90? 우리는 그것을 알 수 있어요 ∠
ABE
= ∠QAM, AB = AQ = c이므로 RtΔABE ≌ RtΔQAM 이고 RtΔHBT ≌
RtΔABE 입니다. > RtΔABE ≌ RtΔQAM으로부터 QM = AE = a, ∠AQM = ∠BAE를 얻습니다.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90?, ∠BAE + ∠CAR = 90?, ∠AQM = ∠ BAE,
∴ ∠FQM = ∠CAR.
그리고 ∵ ∠QMF = ∠ARC = 90?, QM = AR = a,
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC입니다.
∵ , , ,
그리고 ∵ , ,
∴
=
= ,
그렇습니다.
증명 11(절단선 정리를 사용하여 증명)
RtΔABC에서 직각 변 BC = a라고 두겠습니다. , AC = b, 경사면 AB = c 그림과 같이 B를 중심으로, a를 반지름으로 하는 원을 그리며 각각 D와 E에서 AB와 교차합니다. 그러면 BD = BE = BC = a. ∠BCA = 90?이므로 점 C는 ⊙B에 있으므로 접선 정리에 따르면 AC는
=
=
= ,
즉,
∴ .
증명 12(다중 열 정리를 사용하여 증명)
RtΔABC에서 직각변 BC = a, AC = b, 빗변 AB = c(그림에 표시됨)라고 가정합니다. 점 A를 통과하는 ADʼCB, BD를 그립니다. CA가 점 B를 통과하면 ACBD는 직사각형이고 직사각형 ACBD는 다항식 정리에 따라 사각형에 내접됩니다. 대각선의 곱은 의 곱의 합과 같습니다. 두 쌍의 변,
,
∵ AB = DC = c, AD = BC = a,
AC = BD = b,
∴ 즉,
∴ .
증명 13(직각삼각형의 내접원 증명)
RtΔABC에서 오른쪽을 보자 -각진 변 BC = a, AC = b, 빗변 AB = c. RtΔABC의 내접원 ⊙O를 그리고 접선점은 D, E, F입니다(그림과 같이). r입니다.
∵ AE = AF, BF = BD, CD = CE,
∴
= = r + r = 2r,
즉,
∴ .
∴ ,
즉,
∵ ,
∴ ,
또한 ∵ = =
= = ,
∴ ,
∴ ,
∴ , ∴ .
증명 14(모순에 의한 증명)
그림과 같이 RtΔABC에서 직각변 AC, BC의 길이를 각각 a, b라고 하면, 빗변 AB의 길이는 c입니다. 점 C를 지나 CD⊥AB를 그리면 수직발은 D가 됩니다.
Assumption, 즉 가설이면
= =
또는 AD: AC≠AC:AB 또는 BD: BC≠BC:AB입니다.
ΔADC 및 ΔACB에서는
∵ ∠A = ∠A,
∴ AD:AC≠AC:AB이면
∠ADC≠∠ACB.
ΔCDB 및 ΔACB에서 ,
∵ ∠B = ∠ B,
∴ BD: BC≠BC: AB이면
∠CDB≠∠ACB.
그리고 ∵ ∠ACB = 90?,
p>∴ ∠ADC≠90?, ∠CDB≠90?
이것은 연습과 동일합니다
CD⊥AB는 모순이므로 의 가정은 성립할 수 없습니다.
∴ .
증명 15(심슨의 증명)
정의가 2개 있다고 가정합니다. -직각삼각형의 각진 변의 길이는 각각 a와 b이고 빗변의 길이는 c입니다. 변의 길이가 a+b인 정사각형 ABCD를 구성합니다. 위 왼쪽 그림과 같이 정사각형 ABCD를 여러 부분으로 나눕니다. , 그러면 정사각형 ABCD의 면적은 다음과 같습니다. 정사각형 ABCD를 ABCD로 나누면 위 오른쪽 그림과 같이 여러 부분으로 나누어지며, 그러면 정사각형 ABCD의 면적은 = .
∴ ,
∴ .
증명 16 (Chen Jie의 증명)
직각 삼각형의 직각 두 변의 길이가 다음과 같다고 가정합니다. b(b>a)이고 빗변의 길이는 c입니다. 한 변의 길이가 a와 b(b>a)인 두 개의 정사각형을 만들어 그림과 같은 모양으로 모아 세 점 E가 되도록 하세요. , H, M은 직선상에 있으며 숫자를 이용하여 면적의 수를 나타냅니다(그림 참조).
EH = b일 때 위에서 ED = a를 취하고 DA와 DC를 연결합니다. ,
그러면 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a, ED = a,
∴ DM = EM―ED = ― a = b.
그리고 ∵ ∠CMD = 90?, CM = a,
∠AED = 90?, AE = b,
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC, DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180? + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90?,
∴ ∠ADC = 90?.
∴은 AB”DC, CB”DA, ABCD는 다음과 같은 정사각형입니다. 측면 길이 c.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90?,
∴ ∠BAF=∠ DAE.
FB 연결 , ΔABF 및 ΔADE에서
∵ AB =AD = c, AE = AF = b, ∠BAF=∠DAE,
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90?, BF = DE = a.
∴ 점 B, F, G, H는 RtΔABF와 RtΔBCG에서 직선 위에 있습니다. ,
∵ AB = BC = c, BF = CG = a,
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.