정의: 다항식을 여러 정수의 곱으로 변환하는 것을 다항식 인수분해라고 하며 분해 인자라고도 합니다.
의의: 중학교 수학에서 가장 중요한 정체성 변환 중 하나이며 초등학교 수학에서 널리 사용되며 많은 수학적 문제를 해결하는 강력한 도구입니다. 인수분해 방법은 유연하고 고도로 기술적입니다. 이러한 방법과 기술을 배우는 것은 인수분해의 내용을 익히는 데 필요할 뿐만 아니라 학생들의 문제 해결 능력을 키우고 사고 능력을 개발하는 데에도 매우 독특한 역할을 합니다. 이를 학습하면 정수의 네 가지 산술 연산을 복습할 수 있을 뿐만 아니라 분수 학습을 위한 견고한 기초를 마련할 수 있습니다. 이를 잘 학습하면 학생들의 관찰력, 주의력, 계산 능력을 키울 수 있을 뿐만 아니라 종합적으로 분석하고 계산하는 능력도 향상시킬 수 있습니다. 문제를 해결하세요.
정수의 인수분해와 곱셈은 서로의 역변환입니다.
[이 문단 편집] 인수분해 방법
인수분해에는 보편적인 방법이 없습니다. 중학교 수학 교과서에서는 주로 공약수 공식화 방법과 공식화 방법을 소개합니다. 대회에는 항의 쪼개기와 덧셈법, 군분해와 교차곱셈, 미정계수법, 이중교차곱셈, 회전대칭법, 나머지정리법 등이 있다.
[이 문단 편집] 기본 방법
⑴공약수 방법
각 항에 포함된 공통인수를 항의 공통인수라고 합니다.
다항식의 각 항이 공통인수를 갖는 경우, 공통인수를 제시하여 다항식을 두 인수의 곱의 형태로 변환하는 방법을 공통인수 공식이라고 합니다. .
구체적인 방법: 각 계수가 정수인 경우, 공약수의 계수는 각 항목의 문자가 같아야 하며, 각 문자의 지수는 동일해야 합니다. 가장 낮은 차수가 되어야 하며, 동일한 다항식을 취하고, 다항식의 가장 낮은 차수를 취해야 합니다.
다항식의 첫 번째 항이 음수인 경우 일반적으로 괄호 안의 첫 번째 항의 계수를 양수로 만들기 위해 "-" 기호가 필요합니다. "-" 기호가 제안되면 다항식의 각 항의 기호를 변경해야 합니다.
예: -am+bm+cm=-m(a-b-c)
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)= (x-y)(a-b).
참고: 2a^2+1/2를 2(a^2+1/4)로 바꾸는 것은 공통 인수라고 부르지 않습니다.
⑵공식 방법
곱셈 공식을 반대로 하면 특정 다항식을 인수분해할 수 있습니다. 이 방법을 공식 방법이라고 합니다.
제곱 차이 공식: a^2-b^2=(a+b)(a-b)
완전한 제곱 공식: a^2±2ab+b^2=( a± b)^2;
참고: 완전제곱식을 사용하여 인수분해할 수 있는 다항식은 삼항식이어야 하며, 그 중 두 개는 두 숫자의 제곱의 합 형태로 쓸 수 있습니다. (또는 공식), 그리고 다른 하나의 항은 이 두 숫자(또는 공식)의 곱의 두 배입니다.
3차 합 공식: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
3차 차이 공식: a^3 -b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
완전한 삼차 공식: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a± b) ^3．
나머지 공식은 위의 그림을 참고해주세요.
예: a^2 +4ab+4b^2 = (a+2b)^2(오른쪽 그림 참조).
[이 문단 편집] 대회에서 사용되는 방법
⑶그룹 분해 방법
그룹 분해는 방정식을 푸는 간단한 방법인데, 이 지식을 배워봅시다.
그룹화 및 분해가 가능한 방정식에는 4개 이상의 항이 있습니다. 일반적으로 그룹화 분해에는 2분할 방식과 3-1 방식의 두 가지 형태가 있습니다.
예:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
ax와 ay를 하나의 그룹으로 그룹화하고 bx와 by를 그룹으로 그룹화하여 곱셈의 분배 법칙을 사용합니다. 즉시 어려움을 덜어줍니다.
마찬가지로 이 질문도 같은 방식으로 할 수 있습니다.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x +y)
몇 가지 예:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
해결책: =5x(a+b)+3y(a +b)
=(5x+3y)(a+b)
참고: 서로 다른 계수를 그룹화하고 분해할 수 있습니다. 위와 같이 5ax와 5bx를 전체적으로 고려하여 처리합니다. 3ay와 3by를 전체적으로 구하고, 곱셈의 분배 법칙을 이용하여 쉽게 풀 수 있습니다.
2. x3-x2+x-1
해결책: =(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1 )+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
이분법과 공통인수법을 사용하여 x2를 구한 후 이를 결합하여 쉽게 해결해보세요.
3. x2-x-y2-y
해결책: =(x2-y2)-(x+y)
=(x+y) (x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
이분법을 사용한 다음 공식 방법 a2-b2=( a +b)(a-b)를 구한 다음 함께 풀어보세요.
⑷교차 곱셈 방법
이 방법에는 두 가지 상황이 있습니다.
① x^2+(p+q)x+pq 유형의 공식 인수분해
이 유형의 이차 삼항식의 특징은 다음과 같습니다. 이차 항의 계수는 1입니다. ; 상수 항은 두 숫자의 곱입니다. 선형 항 계수는 상수 항의 두 인수의 합입니다. 따라서 계수가 1인 일부 이차 삼항식을 직접 인수분해할 수 있습니다: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
② kx^2+mx+n 유형의 수식 인수분해
k=ac, n=bd, ad+bc=m이면 kx^2+mx +n=(ax+b)(cx+d)．
다이어그램은 다음과 같습니다:
a b
×
c d
예: 왜냐하면
p>1 -3
×
7 2
-3×7=-21, 1×2=2 및 2-21 =-19 ,
따라서 7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
교차 곱셈 공식: 머리부터 꼬리까지 분해하고, 교차 곱하고, 중간을 합산합니다.
⑸항을 나누고 항을 더합니다
이 방법은 A를 참조합니다. 다항식의 특정 항은 서로 반대되는 두 개(또는 여러 개의) 항으로 분할되거나 채워져 원래 공식이 공통인수법, 공식법 또는 그룹 분해법에 의한 분해에 적합하게 됩니다. 변환은 원래 다항식과의 동일 원칙에 따라 수행되어야 한다는 점에 유의해야 합니다.
예: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a ) -ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a ) (b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹좌위법
수식법으로 사용할 수 없는 일부 다항식의 경우 완전 정사각형 형태로 결합한 후 제곱 차이 공식을 사용하여 인수분해할 수 있으며, 이 방법을 매칭 방법이라고 합니다. 항목을 분할하고 추가하는 방법의 특수한 경우입니다. 또한 변환은 원래 다항식과의 동일 원칙에 따라 수행되어야 합니다.
예: x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2- ( 6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑺인수 정리 적용
다항식 f(x)=0의 경우 f(a)=0이면 f(x)는 인수 x-a를 포함해야 합니다.
예를 들어 f(x)=x^2+5x+6, f(-2)=0이면 x+2가 x^2+5x+의 인수라고 판단할 수 있습니다. 6. (실제로는 x^2+5x+6=(x+2)(x+3)입니다.)
⑻대체 방법
가끔 인수를 분해할 때 다음과 같은 방법이 가능합니다. 다항식의 같은 부분을 알 수 없는 다른 숫자로 대체한 다음 이를 인수분해하고 마지막으로 다시 변환하는 것을 대체 방법이라고 합니다.
참고: 위안을 바꾼 후에는 위안을 반환하는 것을 잊지 마세요.
예를 들어 (x^2+x+1)(x^2+x+를 분해할 때 2)-12, y=x^2+x라고 하면
원래 공식=(y+1)(y+2)-12
=y^2 +3y+2-12= y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)( x^2+x-2 )
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
오른쪽 사진도 보세요.
⑼Root 방법
다항식 f(x)=0으로 놓고 그 근을 x1, x2, x3,...xn으로 찾으면 다항식은 f( x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
예를 들어 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6을 분해할 때 2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0이라고 하면,
그러면 포괄적인 나눗셈을 통해 이 방정식의 근이 0.5, -3, -2, 1임을 알 수 있습니다.
따라서 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽이미지 방법
y=f(x)라고 놓고 함수 y=f(x)의 이미지를 만들고 함수 이미지의 교차점 x1과 x2를 찾고 X축 ,x3 ,...xn이면 다항식은 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x- xn).
⑼ 방법에 비해 방정식을 푸는 지루함을 피할 수는 있지만 정확도가 충분하지 않습니다.
예를 들어 x^3 +2x^2 -5x-6을 분해할 때 y=x^3 +2x^2 -5x-6으로 설정할 수 있습니다.
해당 이미지, x축과의 교차점은 -3, -1, 2입니다.
그러면 x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)( x-2).
⑾피벗 구성 요소 방법
먼저 문자를 주 구성 요소로 선택한 다음 이 문자의 정도에 따라 항목을 높은 것부터 낮은 것까지 배열한 다음 인수분해합니다.
⑿특수값법
x에 2나 10을 대입하여 숫자 p를 구하고, 숫자 p를 소인수로 분해하고, 소인수를 적절히 결합한 후, 각각을 결합하여 A인수로 쓴다. 2 또는 10과 2 또는 10의 합과 차이를 x로 줄여 인수분해 공식을 얻습니다.
예를 들어 x^3+9x^2+23x+15를 분해할 때 x=2로 두고
x^3 +9x^2 +23x+15=8로 둡니다. + 36+46+15=105,
105를 3개의 소인수로 분해합니다. 즉, 105=3×5×7입니다.
다항식에서 가장 높은 항의 계수는 1이고 3, 5, 7은 각각 x+1, x+3, x+5이므로 x=2일 때의 값임을 참고하세요 ,
그러면 x^3+9x^2+23x+15는 (x+1)(x+3)(x+5)와 같을 수 있으며, 이는 실제로 검증된 경우입니다.
⒀미정계수법
먼저 분해인자의 형태를 결정한 후, 해당 정수의 문자계수를 설정하고 문자계수를 구한 후 다항식을 인수분해합니다.
예를 들어 x^4-x^3-5x^2-6x-4를 분해할 때 분석에 따르면 이 다항식에는 1차 인자가 없으므로 두 개의 2차 인자로만 분해할 수 있는 것으로 나타났습니다. .
따라서 x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
여기서 우리는 a+c=-를 얻을 수 있습니다. 1 ,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
해결책은 a=1, b=1, c=-2, d=-4입니다.
그러면 x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
오른쪽 사진도 보세요.
⒁이중 교차 곱셈 방법
이중 교차 곱셈 방법은 교차 곱셈 방법과 유사한 인수분해 유형에 속합니다. 예제를 사용하여 사용 방법을 설명합니다.
예: 인수분해: x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
분석: 이는 이중 교차 곱셈 방법을 사용하여 인수분해할 수 있는 2차 6항식입니다.
풀이:
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴ 원래 공식 = (x+2y+2)(x+3y+6)．
이중 교차 곱셈 방법의 단계는 다음과 같습니다.
① 먼저 교차 곱셈 방법을 사용하여 X^2+5xy+6y^와 같은 2차 항을 분해합니다. 교차 곱셈 다이어그램 ① 2=(x+2y)(x+3y);
②먼저 문자의 선형 계수 분수 상수 항(예: y)을 사용합니다. 예를 들어 교차 곱셈도 ②에서 6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③ 그런 다음 다른 문자의 첫 번째 계수(예: x)를 누릅니다. 교차 곱셈 다이어그램 ③과 같이 테스트하려면 이 단계를 생략할 수 없습니다. 그렇지 않으면 실수하기 쉽습니다.
[이 문단 편집] 다항식 인수분해의 일반적인 단계:
① 다항식의 각 항에 공통인수가 있는 경우 먼저 공통인수를 언급합니다.
② 각 항에 공통인수가 없으면 수식과 교차곱셈을 이용해 분해해 볼 수 있습니다.
③ 위의 방법으로 분해할 수 없다면 그룹화를 사용해 보세요. 항 분할 및 보완 항 분해 방법
④ 각 다항식 인수가 더 이상 분해되지 않을 때까지 인수 분해를 수행해야 합니다.
한 문장으로 요약할 수도 있다. “공약수가 있는지 먼저 확인한 뒤, 공식을 설정할 수 있는지 살펴보세요. 교차 곱셈을 해보고 그룹화와 분해가 적절해야 합니다.
”
몇 가지 예
1. 인수분해 (1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y) ^2 .
해결책: 원래 공식 = (1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2 (1 +y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) (보수)
=[(1+y)+x^2(1-y )]^ 2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) (완전 정사각형)
=[(1+y)+x ^2( 1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x ^2( 1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
= (x+ 1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2. 증명: 임의의 실수 x, y에 대해 다음 공식 값 33이 아닙니다:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5
해결책: 원본. 공식=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x +3y )-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4 )
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y) (x-y )(x+2y)(x-2y)
(인수분해 과정은 오른쪽 그림에서도 볼 수 있습니다.)
y=0일 때 원본 공식 = x^5는 33과 같지 않습니다. y가 0과 같지 않으면 x+3y, x+y, x-y, x+2y, x-2y가 서로 다르므로 33은 곱으로 나눌 수 없습니다.
3.. △ABC의 세 변 a, b, c는 다음과 같은 관계를 갖습니다: -c^2+a^2+2ab. -2bc=0. 확인: 이 삼각형은 이등변삼각형입니다.
분석: 이 질문은 본질적으로 방정식의 왼쪽에 있는 다항식의 인수분해입니다. ∵-c^2+a^2+2ab-.2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0
∴( a-c)(a+2b+c)=0.
∵a, b, c는 △ABC,
∴a+2b+c>0의 세 변입니다.
∴a-c=0,
즉, a=c, △ABC는 이등변삼각형이다.
4. -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)을 인수분해합니다.
해법: -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
[이 단락 편집] 인수분해에 대한 네 가지 참고 사항:
인수분해에 대한 네 가지 참고 사항은 다음과 같이 네 문장으로 요약될 수 있습니다. 첫 번째 항이 음수이면 항상 올립니다. 각 항목에 'public'이 있으니 'public'을 먼저 언급하세요. 특정 항목이 제안되면 1개를 놓치지 말고 괄호 안에 '하단'으로 나누어주세요. 다음 예는 참고용으로 제공됩니다.
예 1: 인수 -a2-b2+2ab+4.
해결책: -a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
여기서 "음수"는 "빼기 기호"를 나타냅니다. 다항식의 첫 번째 항이 음수인 경우 일반적으로 괄호 안의 첫 번째 항의 계수가 양수가 되도록 음수 부호가 필요합니다.
학생들이 -9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)와 같은 실수를 방지합니다.
예시 2 - 12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1 인수분해. 해결책: -12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1 (2xny-3x2y2+1)
여기서 "공통"은 "공통 인수"를 의미합니다. 다항식의 각 항이 공통 인수를 포함하는 경우 이 공통 인수를 먼저 추출한 다음 인수를 추가로 분해합니다. 여기서 "1"은 다항식의 정수 항이 공통 인수일 때 먼저 이 공통 인수를 제안한다는 의미입니다. , 괄호 안의 1을 놓치지 마세요.
인수분해는 각 다항식 인수가 더 이상 인수분해될 수 없을 때까지 수행되어야 합니다. 끝까지 무너뜨리고 중간에 포기하지 말라는 뜻이다. 여기에는 공통 인수를 한 번에 "깨끗하게" 언급하고, "꼬리"를 남기지 않고, 괄호 안의 각 다항식을 더 이상 분해할 수 없도록 만드는 것이 포함됩니다. 학생들이 4x4y2-5x2y2-9y2=y2 (4x4-5x2-9)=y2 (x2+1) (4x2-9)와 같은 실수를 하지 않도록 방지합니다.
시험 중 주의 사항:
실수로 변환하는 방법에 대한 설명이 없는 경우 일반적으로 유리수로 변환하는 것으로 충분합니다.