다음은 프톨레마이오스 정리의 증명입니다. 원 안의 사각형의 마주보는 두 변의 곱의 합은 두 대각선의 곱과 같습니다.
증명 1:
아래 그림과 같이 ∠PAB=∠DAC가 되도록 BD에 점 P를 찍습니다.
∵∠ABP=∠ACD
∴ΔABP∽ΔACD
∴AB/AC=BP/CD
∴AB·CD=AC·BP? p >∵∠BAC=∠PAD, ∠ACB=∠ADP
∴ΔABC∽ΔAPD
∴BC/PD=AC/AD
∴ BC·AD=AC·PD? ②
① ②AB·CD BC·AD=AC·(BP PD)=AC·BD 얻기
증명 방법 2:
아래 그림과 같이 AB의 연장선에 점 P를 찍어 ∠ACP=∠DCB?
∵∠PAC=∠BDC
∴ △ACP∽ΔDCB
∴AC/CD=AP/BD
∴AC·BD=CD·AP? ①
∵∠CBP=∠CDA , ∠BCP= ∠DCA
∴ΔACD∽ΔPCB
∴AD/PB=CD/CB
∴AD·CB=CD·PB? ②
①-②AC·BD-AD·CB=CD·(AP-PB)=CD·AB 얻기
∴AB·CD AD·BC=AC·BD
p>위로부터 분자와 분모가 동일하고 방정식이 성립하는 것이 분명합니다.