2차 방정식의 해법
1. 지식 포인트:
2차 방정식과 1차 방정식은 모두 중학교 수학 A와 관련된 적분 방정식입니다. 미래 수학 학습의 기반이기도 한 핵심 콘텐츠는 학생들의 관심을 끌어야 한다.
2차 방정식의 일반 형식은 다음과 같습니다: ax2 bx c=0, (a≠0), 여기에는 미지수가 하나만 포함되며 미지수의 최고 차수는 2입니다.
적분 방정식.
한 변수의 2차 방정식을 푸는 기본 아이디어는 '차수를 줄여서' 두 개의 변수가 있는 1차 방정식으로 변환하는 것입니다. 2차 방정식에는 네 가지 해법이 있습니다. 1. 직접 제곱근 방법, 2. 조합 방법, 4. 인수분해 방법.
2. 방법 및 예시에 대한 심층 설명:
1. 직접 제곱근 방법:
직접 제곱근 방법은 이차 방정식을 푸는 방법입니다. 직접 제곱근을 사용하여 한 변수의 방정식. 직접 제곱근 방법을 사용하여 (x-m)2=n (n≥0) 형식의 방정식을 풉니다.
해는 x=m± 입니다.
예 1. 방정식 (1) 풀기 (3x 1)2=7 (2) 9x2-24x 16=11
분석: (1) 이 방정식은 직접 제곱근 방법을 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다 (2). 방정식의 왼쪽은 완전한 제곱식(3x-4)2, 오른쪽 = 11gt;이므로
이 방정식은 직접 제곱근 방법으로도 풀 수 있습니다.
(1) 해결책: (3x 1)2=7×
∴(3x 1)2=5
∴3x 1=±(조심하세요 손실된 솔루션이 아님)
∴x=
∴원래 방정식의 솔루션은 x1=, x2=
(2) 솔루션: 9x2-24x입니다. 16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
해결책 x1=, x2=
2의 경우 원래 방정식의 조합 방법: 조합 방법을 사용하여 방정식 ax2 bx c=0 (a≠0)을 풉니다.
먼저 상수 c를 방정식의 오른쪽으로 이동합니다: ax2 bx=-c
2차항 변경 계수는 1이 됩니다: x2 x=-
방정식의 양쪽에 선형항 계수의 제곱의 절반을 더합니다: x2 x ( )2=- ( ) 2
방정식의 좌변은 완전제곱법이 됩니다: (x )2=
b2-4ac≥0일 때, x =±
∴x = (이것이 근본 공식입니다)
예 2． 복합법을 사용하여 방정식 3x2-4x-2=0을 푼다
해결책: 상수 항을 방정식 3x2-4x-2=2의 오른쪽으로 이동
계수 변경 2차 항을 1로 계산: x2 -x=
방정식의 양쪽에 선형 계수의 제곱의 절반을 더합니다: x2-x ( )2= ( )2
공식: (x-)2=
직접 제곱근: x-=±
∴x=
∴원래 방정식의 해는 x1=입니다. , x2=
3 ． 수식법: 이차방정식을 일반형으로 변환한 후 판별식 △=b2-4ac의 값을 계산 b2-4ac≥0일 때 각 항목의 계수 a, b, c의 값을 계산
방정식의 근을 얻으려면 근 공식 x=(b2-4ac≥0)을 대체하세요.
예 3. 공식 방법을 사용하여 방정식 2x2-8x=-5를 풀어보세요.
해결책: 방정식을 일반 형식으로 변환하세요: 2x2-8x 5=0
∴a=2, b =-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24gt 0
∴x= = =
∴원래 방정식의 해는 x1=, x2=
4입니다. 인수분해 방법: 한쪽 변이 0이 되도록 방정식을 변환하고, 다른 쪽 변의 2차 삼항식을 두 선형 인수의 곱으로 분해하고, 두 선형 인수가 각각 0이 되도록 둡니다.
이 한 변수의 두 선형 방정식을 풀어 얻은 근이 원래 방정식의 두 근이 됩니다.
이차 방정식을 푸는 이 방법을 인수분해라고 합니다.
예 4. 인수분해를 사용하여 다음 방정식을 푼다:
(1) (x 3)(x-6)=-8 (2) 2x2 3x=0
(3) 6x2 5x -50 =0 (선택 사항) (4)x2-2( )x 4=0 (선택 사항)
(1) 해결 방법: (x 3)(x-6)=-8 단순화 정렬
x2-3x-10=0 (방정식의 왼쪽은 2차 삼항식이고 오른쪽은 0입니다)
(x-5)(x 2)=0 (방정식의 좌변을 인수분해)
∴x-5=0 또는 x 2=0(변수가 하나인 두 개의 선형 방정식으로 변환됨)
∴x1=5, x2=-2 Eq.의 원래 솔루션입니다.
(2)의 해: 2x2 3x=0
x(2x 3)=0 (공통인수법을 사용하여 방정식의 왼쪽을 인수분해합니다.)
∴x=0 또는 2x 3=0(변수가 하나인 두 개의 선형 방정식으로 변환됨)
∴x1=0, x2=-는 원래 방정식의 해입니다.
참고: 이차 방정식에는 두 가지 해가 있다는 점을 기억해야 합니다.
(3)의 풀이: 6x2 5x-50=0
(2x-5)(3x 10)=0 (교차 곱셈으로 인수분해할 때 부호에 특히 주의하십시오. 실수하지 않도록 )
∴2x-5=0 또는 3x 10=0
∴x1=, x2=-는 원래 방정식의 해입니다.
(4)의 풀이: x2-2( )x 4 =0 (∵4는 2·2로 분해 가능, ∴이 질문은 인수분해 가능)
(x- 2)(x-2 )=0
∴x1=2 , x2=2 는 원래 방정식의 해입니다.
요약:
일반적으로 하나의 변수에 대한 이차방정식을 풀기 위해서는 가장 흔히 사용되는 방법이 인수분해법을 적용할 때, 일반식을 먼저 작성해야 합니다.
p>
형식에서는 2차 항의 계수를 양수로 변환해야 합니다.
직접 개통 방식이 가장 기본적인 방식이다.
공식 방식과 조합 방식이 가장 중요한 방식이다. 공식 방법은 단일 변수의 모든 2차 방정식에 적용할 수 있습니다(어떤 사람들은 이를 범용 방법이라고 부릅니다). 공식
방법을 사용할 때 원래 방정식을 일반 형식으로 변환해야 합니다. 계수를 사용하고 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식의 값을 계산하여 방정식에 해가 있는지 확인해야 합니다
.
결합법은 수식을 도출하기 위한 도구로, 수식법을 익히고 나면 바로 수식법을 이용해 한 변수의 2차 방정식을 풀 수 있기 때문에 일반적으로 결합법을 사용할 필요는 없습니다. /p>
한 변수의 2차 방정식을 푼다. 하지만 매칭 방법은 다른 수학적 지식을 학습하는데 널리 사용됩니다. 중학교에서 꼭 익혀야 할 중요한 수학적 방법 3가지 중 하나입니다.
반드시 잘 익혀야 합니다. (세 가지 중요한 수학적 방법: 치환법, 결합법, 미결정계수법).
예 5. 적절한 방법을 사용하여 다음 방정식을 푼다.
(선택 사항)
(1)4(x 2)2-9(x-3)2=0 (2)x2 (2-)x -3=0
( 3) x2-2 x=- (4) 4x2-4mx-10x m2 5m 6=0
분석: (1) 우선 질문에 어떤 특징이 있는지 관찰해야 하며, 그렇지 않은지 관찰해야 합니다. 맹목적으로 곱셈을 먼저 해라. 관찰 후 우리는 방정식의 왼쪽 부분이 제곱의 차이 공식
을 사용하여 인수분해되고 두 선형 인수의 곱으로 바뀔 수 있음을 발견했습니다.
(2) 교차 곱셈 방법을 사용하여 방정식의 왼쪽을 인수분해할 수 있습니다.
(3) 일반형으로 변환한 후 수식법을 이용하여 풀어보세요.
(4) 방정식을 4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0으로 변환한 다음 교차 곱셈 방법을 사용하여 인수분해합니다.
(1) 해법: 4(x 2)2-9(x-3)2=0
[2(x 2) 3(x-3)][2 (x 2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x 13)=0
5x-5=0 또는 -x 13= 0
∴x1=1, x2=13
(2) 해결책: x2 (2- )x -3=0
[x-(- 3)](x-1)=0
x-(-3)=0 또는 x-1=0
∴x1=-3, x2=1
(3) 해결 방법: x2-2 x=-
x2-2 x =0 (먼저 일반 형식으로 변환)
Δ=(-2 )2- 4 ×=12-8=4gt; 0
∴x=
∴x1=, x2=
(4) 해결책: 4x2-4mx-10x m2 5m 6=0
4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0
[2x-(m 2)][2x-(m 3 )]=0
2x-(m 2)=0 또는 2x-(m 3)=0
∴x1= , x2=
예 6 ． 방정식 3(x 1)2 5(x 1)(x-4) 2(x-4)2=0의 두 근을 구합니다. (선택 사항)
분석: 이 방정식을 수행하기 전에 누승, 곱셈 및 유사한 용어를 일반적인 형태로 병합하면 더 번거로울 것입니다. 질문을 주의 깊게 관찰하십시오.
x 1과 x-4를 전체적으로 보면 식의 좌변은 교차곱셈법으로 인수분해할 수 있음을 알 수 있다(실제로는 대입법을 사용한다)
해결책 : [3(x 1) 2(x-4)][(x 1) (x-4)]=0
즉 (5x-5)(2x-3)=0 < / p>
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1 = 0 또는 2x-3=0
∴x1=1, x2=는 원래 방정식의 해입니다.
예 7. 조합 방법을 사용하여 x에 대한 2차 방정식 x2 px q=0을 풀어보세요.
해결책: x2 px q=0은
x2 px=-q(상수 항)로 변환될 수 있습니다. 방정식의 오른쪽으로 이동합니다)
x2 px ( )2=-q ()2 (일차항 계수의 제곱의 절반을 방정식의 양쪽에 추가합니다)
(x )2= (수식)
p2-4q≥0일 때, ≥0 (p2-4q를 분류하고 논의해야 함)
∴x=- ± =
∴x1= , x2=
p2-4qlt;0, lt;0인 경우 원래 방정식에는 실수근이 없습니다.
참고: 이 문제는 문자 계수를 포함하는 방정식입니다. 문제에는 p와 q에 대한 추가 조건이 없습니다. 따라서 문제를 해결하는 과정에서 항상 요구 사항에 주의해야 합니다. 문자의 가치
필요할 경우 기밀 토론을 진행합니다.
연습:
(1) 적절한 방법을 사용하여 다음 방정식을 푼다:
1. (x 5) ( x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x 4=0
5. 3x2 1=2x 6. (2x 3)2 5 ( 2x 3)-6=0
(2) x에 대해 다음 방정식을 풀어보세요.
1.x2-ax -b2=0 2. x2-( )ax a2=0
연습 참조 답변:
(1) 1.x1=-, x2= 2.x1=2, x2=-2
3.x1= 0 , x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6. 해결 방법: (2x 3을 전체적으로 고려하고 방정식의 왼쪽을 인수분해합니다.)
[(2x 3) 6][(2x 3)-1]=0
즉, (2x 9)(2x 2)=0
∴2x 9=0 또는 2x 2 =0
∴x1=-, x2=-1은 원래 방정식의 해입니다.
(2)1. 해결책: x2-ax ( b)( -b)=0 2. 해결책: x2-( )ax a· a=0
[x-( b)] [x-( -b)] =0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( b)=0 또는 x-( -b) =0 x- a=0 또는 x-a=0
∴x1= b, x2= -b는 ∴x1= a, x2=a는
원래 방정식의 해입니다. 원래 방정식의 해.
테스트
객관식 문제
1. 방정식 x(x-5)=5(x-5)의 근은 ( )
A, x=5 B, x=-5 C, x1=x2=5 D, x1=입니다. x2= -5
2. 다항식 a2 4a-10의 값은 11과 같으며, a의 값은 ( )입니다.
A, 3 또는 7 B, -3 또는 7 C, 3 또는 -7 D, -3 또는 -7
3. 2차 방정식 ax2 bx c=0의 2차항 계수, 1차항 계수 및 상수항의 합이 0이면 방정식에는
근( )이 있어야 합니다.
A, 0B, 1C, -1D, ±1
4. 이차 방정식 ax2 bx c=0의 근이 0이라는 조건은 ( )입니다.
A, b≠0 및 c=0 B, b=0 및 c≠0
C, b=0 및 c=0 D, c=0
5. 방정식 x2-3x=10의 두 근은 ( )입니다.
A, -2, 5B, 2, -5C, 2, 5D, -2, -5
6. 방정식 x2-3x 3=0의 해는 ( )입니다.
A, B, C, D, 실제 뿌리는 없음
7. 방정식 2x2-0.15=0의 해는 ( )입니다.
A, x= B, x=-
C, x1=0.27, x2=-0.27 D. x1=, x2=-
8. x2-x-4=0 방정식의 좌변을 완전제곱식으로 배열하면 결과 방정식은 ( )가 됩니다.
A. (x-)2= B. (x- )2=-
C. (x- )2= D. 위 답변 중 정답이 없습니다
p>9. 하나의 변수 x2-2x-m=0의 2차 방정식이 알려져 있으며, 수식법을 이용하여 방정식을 푼 후의 방정식은 ( )이다.
A.(x-1)2=m2 1B.(x-1)2=m-1C.(x-1)2=1-mD.(x-1)2 =m 1
답변 및 분석
답변: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
분석:
1. 분석: 다음을 얻기 위해 항을 전달합니다: (x-5)2=0, then x1=x2=5,
참고: 방정식의 양변을 정수로 쉽게 나누지 마십시오. 이차방정식은 실수근을 가지므로 반드시 2가 되어야 합니다.
2． 분석: 질문: a2 4a-10=11에 따르면, 해결책은 a=3 또는 a=-7입니다.
3. 분석: 질문의 의미에 따르면 a b c=0이 있고 방정식의 왼쪽은 a b c이며 x=1일 때 ax2 bx c=a b c, 이는 x=1
4. 분석: 이차 방정식 ax2 bx c=0의 한 근이 0이면
ax2 bx c는 인수 x를 가져야 합니다. 그런 다음 c=0인 경우에만 공통 인수 x가 있습니다. 따라서 c=0입니다.
또한 x=0을 대체하여 c=0을 얻을 수도 있습니다. 이는 더 간단합니다!
5. 분석: 원래 방정식은 x2-3x-10=0,
그러면 (x-5)(x 2)=0
x-5=0 또는 x 2=0이 됩니다.
x1=5, x2=-2.
6. 분석: Δ=9-4×3=-3lt; 0이면 원래 방정식에는 실제 근이 없습니다.
7． 분석: 2x2=0.15
x2=
x=±
근호적 표현의 단순화에 주의하고, 직접 제곱근을 취합니다.
8. 분석: 양변에 3을 곱하여 x2-3x-12=0을 얻은 다음 선형 항 계수 공식에 따라 x2-3x (-)2=12 (- )2,
구성 (x- )2=
방정식은 등식 속성을 사용하여 변형될 수 있으며 x2-bx가 공식화되면 수식 항은 선형 항 계수 -b의 절반의 제곱입니다.
9. 분석: x2-2x=m, 그러면 x2-2x 1=m 1
그러면 (x-1)2=m 1.
고등학교 입시 분석
시험문제 분석
1. (간쑤성) 방정식의 근은 ( )
(A) (B) (C) 또는 (D) 또는
주석: 한 변수의 2차 방정식은 따라서 제거 방법을 사용하여 옵션 A와 B를 제거한 다음 검증 방법을 사용하여 옵션 C와 D 중에서 올바른 옵션을 선택하세요.
인수분해 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어 결과를 얻을 수도 있습니다. 옵션 A와 B는 한 가지 측면만 고려하고 하나의 변수는 잊어버립니다.
2차 방정식에는 두 개의 근이 있으므로 옵션 D에서는 x=-1이 왼쪽과 오른쪽을 만들지 않습니다. 등식이므로 역시 틀립니다. 올바른 옵션은
C입니다.
게다가 학생들은 방정식의 양변을 동시에 정수로 나누어 방정식의 근을 잃게 만드는 경우가 많습니다. 이러한 실수는 피해야 합니다.
2． (길림성) 한 변수의 이차 방정식의 근은 __________입니다.
해설: 방정식의 특성에 따라 인수분해법이나 수식법을 사용하여 풀어내는 개념이다.
3． (랴오닝성) 방정식의 근은 ( )
(A) 0 (B) –1 (C) 0, –1 (D) 0, 1
분석: 아이디어: 방정식은 2차 방정식이므로 소거법과 검증법을 사용하면 올바른 옵션이 C로 선택될 수 있지만 두 옵션 A와
B는 하나만 있습니다. 뿌리. 옵션 D 숫자는 방정식의 근이 아닙니다. 또는 방정식의 근을 직접 찾는 방법을 사용할 수 있습니다.
4. (허난성) x의 2차 방정식의 한 근은 -2이고, 그러면 k=__________인 것으로 알려져 있습니다.
주석 및 분석: k=4. x=-2를 원래 방정식에 대입하고 k에 대한 2차 방정식을 구성한 다음 이를 해결합니다.
5. (시안시) 직접 제곱근법을 사용하여 방정식 (x-3)2=8을 풀면 방정식의 근은 ( )
(A) x=3 2 (B)입니다. x=3-2
(C) x1=3 2, x2=3-2 (D) x1=3 2, x2=3-2
댓글: 그냥 풀어보세요 방정식을 직접 풀어서 즉, 계산할 필요가 없습니다. 하나의 변수에 대한 이차방정식의 해가 있다면 두 개의 해가 있어야 하며 8의 제곱근이 있어야 합니다.
답은 다음과 같습니다. 선택된.
과외 확장
일변수 2차 방정식
일변수 2차 방정식은 미지의 숫자와 알 수 없는 숫자는 2차 적분 방정식입니다
. 일반적인 형태는
ax2 bx c=0, (a≠0)
기원전 2000년경 고대 바빌로니아 점토에서 이차방정식과 그 해가 등장했습니다. 칠판에서: 찾기 역수
의 합이 주어진 숫자와 같은 숫자, 즉 x를 찾고
x=1, x =b,
x2-bx 1=0,
그들은 ( )2를 만들고 나서 해결책을 얻습니다: 그리고 -. 바빌로니아인들은 이미 이차 방정식의 근을 찾는 공식을 알고 있었음을 알 수 있습니다. 하지만 당시에는 음수를 허용하지 않았기 때문에 음수는 생략되었습니다.
이집트 파피루스 문서에는 가장 간단한 이차 방정식도 포함되어 있습니다(예: ax2=b).
기원전 4~5세기에 우리나라는 한 변수의 이차방정식의 근을 구하는 공식을 터득했다.
그리스인 디오판토스(246-330)는 이차방정식의 양근이 두 개 있어도 그 중 하나만 취했습니다.
서기 628년, 인도의 브라마굽타(Brahmagupta)가 작성한 "브라마 교정 시스템(Brahma Correction System)"에서 이차 방정식 x2 px q=0의 근 공식을 얻었습니다.
아라비아 알에서. Al-Khwarizmi의 "대수학"은 방정식의 해법을 논의하고 a, b, c를 ax2=bx, ax2=c, ax2 c=bx와 같은 양수로 두는 1차 방정식과 2차 방정식을 풉니다. , ax2 bx=c, ax2=bx c 등. 논의를 위해 이차 방정식을
다양한 형태로 나누는 것은 Diophantus의 접근 방식을 따릅니다. 알. 알 콰리즈미는 이차 방정식에 대한 몇 가지 특별한 해를 제공하는 것 외에도 처음으로 이차 방정식에 대한 일반 해를 제시하여 방정식에 두 개의 근이 있고 무리근이 있음을 인정했습니다. 그러나 가상 근에 대한 이해는 없습니다. 16세기에 이탈리아 수학자들은 삼차 방정식을 풀기 위해 복소수 근을 사용하기 시작했습니다.
Veda(1540-1603)는 변수가 1개인 방정식이 항상 복소수 범위의 해를 갖는다는 사실을 아는 것 외에도 근과 계수 사이의 관계도 제시했습니다.
우리나라의 '산수구장'. "피타고라스" 장의 문제 20은 x2 34x-71000=0에 해당하는 양의 근을 구함으로써 해결됩니다. 중국 수학자들도 방정식 연구에 보간법을 사용했습니다.