고등학교 3학년 수학에 필요한 지식 포인트 1점

1. 수열의 정의

일정한 순서로 배열된 숫자의 나열을 수열이라고 하며, 그 수열에 있는 각 수를 수열이라고 합니다.

(1) 시퀀스의 정의에서 시퀀스를 구성하는 숫자가 동일하지만 특정 순서로 배열되어 있음을 알 수 있습니다. 순서가 다르면 동일한 순서가 아닙니다. 예를 들어 순서 1, 2, 3, 4, 5와 순서 5, 4, 3, 2, 1은 서로 다른 순서입니다.

( 2) 수열의 정의는 수열의 숫자가 달라야 한다고 규정하지 않습니다. 따라서 동일한 수열에서는 -1의 1승, 2승, 3승과 같이 여러 개의 동일한 숫자가 수열에 나타날 수 있습니다. power, 4th power,... 시퀀스 형성: -1, 1, -1, 1,...

(4) 시퀀스의 항목은 항목 수와 다릅니다. 수열의 항목은 수열의 특정 숫자를 나타내며, 이는 함수 값으로 f(n)과 동일하며, 항목 수는 수열에서 해당 숫자의 위치 번호를 의미합니다. f(n)의 n과 동일한 독립 변수입니다.

(5) 순서는 수열에 매우 중요합니다. 여러 개의 동일한 숫자가 서로 다른 순서로 배열되어 있기 때문입니다. 동일한 순서가 아닌 순서입니다. 분명히 순서와 숫자 집합 사이에는 본질적인 차이가 있습니다. 예를 들어 2, 3, 4, 5, 6은 다른 숫자로 배열됩니다. 서로 다른 수열을 얻으며, {2, 3, 4, 5, 6}의 요소는 어떻게 배열되어도 동일한 집합입니다.

2. 수열의 분류

( 1) 수열은 수열에 포함된 항의 개수에 따라 분류할 수 있으며, 유한수열과 무한수열로 나눌 수 있으며, 수열을 작성할 때 유한수열의 경우 수열 1과 같이 마지막 항을 써야 합니다. 3, 5, 7, 9, ..., 2n-1은 유한 수열을 나타냅니다. 수열을 1, 3, 5, 7, 9, ... 또는 1, 3, 5, 7, 9로 쓰면, ..., 2n- 1,..., 무한 시퀀스를 나타냅니다.

(2) 항목 간의 크기 관계나 시퀀스의 증가 및 감소에 따라 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 다음 범주: 증가 수열, 감소 수열, 변동 수열, 상수 수열.

3. 수열의 일반 공식

수열은 특정 순서로 배열된 숫자의 수열입니다. 그 의미의 본질적인 속성은 이 수열을 결정하는 법칙입니다. 이 법칙은 일반적으로 공식 f(n)으로 표현됩니다.

이 두 일반 공식은 형식이 다르지만 다음을 나타냅니다. 모든 기능적 관계가 분석적 표현으로 표현될 수 있는 것은 아니지만 동일한 수열은 동일합니다. 일부 수열에는 일반 공식이 있지만 형식적으로는 반드시 동일하지는 않습니다. 수열 앞의 유한항만 알 수 있고 다른 설명은 없습니다. 수열을 결정할 수 없으며 일반 공식은 훨씬 더 불확실합니다. 예를 들어 수열 1, 2, 3, 4,... ,

수식에 의해 작성된 후속 용어는 다릅니다. 따라서 일반 수식은 처음 몇 가지 용어를 볼 뿐만 아니라 수열의 구성 규칙에 의존하고 더 관찰하고 분석해야 합니다. , 수열의 내부 규칙을 실제로 찾고 수열의 처음 몇 항에서 일반 공식을 작성합니다.

다시 한 번 일반을 이해할 때 다음 사항을 강조합니다. 수열의 공식:

(1) 수열의 일반 공식은 실제로 양의 정수 N* 또는 그 유한 하위 단위의 집합입니다. 집합 {1, 2,...,n}은 다음과 같습니다.

(2) 수열의 일반 공식을 알고 있다면 1, 2, 3,...을 사용하여 이를 차례로 바꾸십시오. 공식의 n은 다음과 같습니다. 동시에 수열의 일반 용어 공식을 사용하여 특정 숫자가 특정 수열의 항목인지 여부와 그렇다면 해당 숫자가 무엇인지 결정할 수 있습니다.

(3) 모든 함수 관계에 반드시 분석적 표현이 있는 것은 아닌 것처럼 모든 수열에 일반 공식이 있는 것은 아닙니다.

예를 들어 2의 불충분한 근사치는 1로 정확합니다. , 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...로 구성된 수열 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...에는 일반식이 없습니다.

(4) 어떤 수열의 일반식 예에서와 같이 반드시 형식일 필요는 없습니다:

(5) 일부 시퀀스의 경우 처음 몇 개의 항목만 제공되고 해당 구성 규칙은 제공되지 않습니다. 그런 다음 시퀀스의 일반 공식은 제공되지 않습니다. 처음 몇 항목만 요약합니다.

4. 순서 이미지

순서 4, 5, 6, 7, 8의 각 항목의 순서 번호 , 9, 10

이 항목과 다음과 같은 대응이 있습니다:

일련 번호: 1234567

항목: 45678910

즉, 위 항목은 컬렉션으로 간주될 수 있습니다. 일련번호의 또 다른 집합의 매핑. 따라서 매핑과 기능의 관점에서 수열은 정의역이 양의 정수 집합 N*(또는 그 유한 부분집합 {1, 2, 3)인 영역으로 간주될 수 있습니다. ,..., n} ) 함수는 독립변수가 작은 것부터 큰 것까지 값을 취하는 경우 일련의 함수 값에 해당합니다. 여기서 함수는 특수 함수이며, 해당 독립변수는 양의 정수만 취할 수 있습니다.

의 수열로 인해 항은 함수값, 수열번호는 독립변수, 수열의 일반항식은 대응함수와 분석식이다.

순서는 특수한 기능으로, 순서를 이미지로 직관적으로 표현할 수 있습니다.

일련번호를 가로로, 해당 항목을 세로로 사용하면 됩니다. 시퀀스를 그릴 때 편의상 두 개의 좌표를 평면 데카르트 좌표계로 표현합니다. 시퀀스의 그래픽 표현을 통해 직관적으로 시퀀스의 변화를 확인할 수 있습니다. , 그러나 정확하지는 않습니다.

수열을 함수와 비교하십시오. 수열은 특수한 함수입니다. 정의 영역은 양의 정수 집합 또는 다음과 같은 유한 연속 양의 정수로 구성된 집합입니다. 1이며 그 이미지는 무한 또는 유한한 수의 고립된 점입니다.

5. 재귀 시퀀스

7겹으로 쌓인 강철 파이프 더미입니다. 각 층은 위에서 아래로 순서대로 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10을 형성합니다. ①

순서 ① 다음과 같이 주어질 수도 있습니다. 첫 번째 층의 강관 수 위에서 아래까지 층수는 4개이며, 다음 층의 강관 개수는 상위층의 강관 개수보다 1개 더 많습니다.

동기 연습

1. 알려진 시퀀스 {an}, an=n2+n에서 a3은 ()와 같습니다.

A.3B. 9

C.12D.20

정답: C

2. 다음 수열 중 증가수열과 무한수열 중 어느 하나가 ()

A.1, 12, 13, 14,…

B.-1,-2,-3,-4,…

C.- 1,-12 , -14, -18,…

D.1, 2, 3,…, n

분석: C를 선택합니다. A의 경우 an=1n, n ∈N*, 이는 B에 대한 무한 감소 수열, an=-n, n∈N*, 이는 또한 C에 대한 무한 감소 수열, an=-(12)n-1입니다. , 이는 무한 증가 수열입니다.

3. 다음 중 틀린 것은 무엇입니까? ()

A. 수열의 모든 항은 일반식에 따라 찾을 수 있습니다

p>

B. 모든 수열에는 일반항 공식이 있을 수 있습니다

C. 수열에는 다양한 형태의 여러 일반항 공식이 있을 수 있습니다

D. 일부 수열에는 항이 없을 수 있습니다

분석: B를 선택합니다. 모든 숫자 시퀀스에 0,1,2,1,0,…과 같은 일반 용어 공식이 있는 것은 아닙니다.

4 숫자 시퀀스의 10번째 항입니다. 23, 45, 67, 89,…은 ( )입니다.

A.1617B.1819

C.2021D.2223

분석: 다음에서 C를 선택합니다. 질문에 따르면 수열의 일반 공식은 an=2n2n +1,

 ∴a10=2×102×11=2021입니다. 따라서 C를 선택하세요.

5. 0이 아닌 수열 {an}의 알려진 재귀 공식은 =nn-1?an-1(n>1)이고 그 다음은 a4=()

A.3a1B.2a1

C.4a1D.1

분석: C를 선택합니다. n=2일 때, a2=2a1, n=3일 때, a3으로 재귀 수식에서 n에 값을 할당합니다. =32a2=3a1; n=4일 때 a4=43a3=4a1.

II

1. 불평등의 정의

객관적인 세계에서 불평등한 관계 수량 사이에는 어디에나 존재하며 이를 연결하기 위해 수학적 기호를 사용합니다. 두 숫자 또는 대수식을 사용하여 두 수량 사이의 불평등을 표현합니다. 이러한 불평등 기호를 포함하는 표현식을 불평등이라고 합니다.

2. 두 숫자의 크기를 비교합니다. 실수

두 개의 실수 의 크기는 실수의 연산 속성에 의해 정의됩니다.

a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.

또한 b>0이면 >1?;=1?;<1?이 있습니다.

차분법, 몫법, 중간량으로 요약할 수 있습니다. 방법 등

3. 부등식의 속성

 (1) 대칭성: a>b?;

(2) 이행성: a>b, b >c?;

(3) 가산성 : a>b?a+cb+c, a>b, c>d?a+cb+d;

 (4) 배수성: a>b, c>0?ac>bc ;a>b>0, c>d>0?;

(5) 지수: a>b>0(n∈N, n≥2);

(6) 침전될 수 있음: a>b>0? (n∈N, n≥2).

지침 검토

1. "단일 기법" 차분 방법의 변형 기술: 변형은 차분 방법의 핵심이며 종종 인수분해 또는 공식화됩니다.

2. "단일 방법" 미정 계수 방법: 차이 방법의 범위를 찾을 때 대수식은 먼저 알려진 대수식을 사용하여 목적식을 표현한 다음 다항식 평등의 규칙을 사용하여 매개변수를 찾고 마지막으로 부등식의 속성을 사용하여 목적식의 범위를 찾습니다.

 3. "두 가지 공통 속성"

(1) 상호 속성: ①a>b, ab>0?<;②a<0

  ③a>b>0,0;

④0

 (2) If a>b>0, m>0이면

 ①진분수의 성질: (b-m>0);

②속성 가분수: >;0).

3

1. 이진 선형 부등식(그룹)을 만족하는 x와 y의 값은 순서수 쌍(x)을 구성합니다. , y )는 두 변수의 선형 부등식(그룹)의 해라고 하며 이러한 모든 순서수 쌍(x, y)의 집합을 두 변수의 선형 부등식(그룹)의 해 집합이라고 합니다.

2. 두 변수의 선형 부등식(그룹)의 각 해(x, y)는 점의 좌표로 평면 위의 점에 해당하고, 선형 부등식(그룹)의 해 집합은 )는 두 변수 중 평면 A 반 평면(평면 영역)의 직사각형 좌표에 해당합니다.

3. 직선 l: Ax+By+C=0 (A와 B가 모두 0은 아님) 좌표 평면을 두 부분으로 나누고, 한 부분(평면의 절반)은 이진 선형 부등식에 해당합니다. Ax+By +C>0(또는 ≥0)이고 다른 부분은 이진 선형 부등식 Ax+By+C<0(또는 ≤0)에 해당합니다.

4. 주어진 평면 면적을 부등식(그룹)으로 표현합니다. 방법은 다음과 같습니다(예: 이 질문의 원점(0, 0)). 그 좌표를 Ax +By+C에 대입하면 양수인지 음수인지 판단하여 해당 부등식을 확인할 수 있습니다.

5. 두 변수의 선형 부등식으로 표현되는 평면 면적은 해당 직선으로 나눈 절반 평면입니다. 일반적으로 두 변수의 선형 부등식 검정에 특수점을 대입하여 결정할 수 있습니다. 직선이 원점을 통과하지 못하는 경우에는 원점 테스트를 선택하는 경우가 많고, 직선이 원점을 통과하는 경우에는 (1,0) 또는 (0,1)로 표시되는 평면 영역을 선택하는 경우가 많습니다. 두 변수의 선형 부등식 그룹은 각 부등식으로 표시되는 평면 영역의 공통 부분입니다. 참고 경계가 실선인지 점선인지의 의미입니다. "선은 경계를 정의하고 점은 영역을 정의합니다."

6. 두 변수의 선형 부등식(그룹)을 만족하는 정수 x와 y의 값으로 형성된 순서쌍(x, y)을 이 선형 부등식의 해라고 합니다( 그룹) 두 변수로 구성됩니다. 모든 정수해에 해당하는 점을 정수점(격자점이라고도 함)이라고 하며, 모두 이 이진 선형 부등식(군)으로 표현되는 평면 영역 내에 있습니다.

7. 두 변수 Ax+By+C≥0의 선형 부등식으로 표현되는 평면적을 그릴 때 경계는 실선으로 그려야 하며, 두 변수 Ax+By의 선형 부등식은 +C>0을 그려야 하며, 평평한 영역을 정의할 경우 경계선을 점선으로 그려야 합니다.

8. 점 P(x0, y0)와 점 P1(x1, y1)이 직선 l의 같은 ​​쪽에 있는 경우: Ax+By+C=0, 그러면 AxByC 및 Ax1+Byl +C는 동일한 부호를 가집니다. 점 P(x0, y0)와 점 P1(x1, y1)이 직선 l의 양쪽에 있으면 Ax+By+C=0이면 AxByC입니다. Ax1+Byl+C는 반대 부호를 갖습니다.

9. 실제 문제에서 두 변수의 선형 부등식(그룹)을 추상화하는 단계는 다음과 같습니다.

(1) 질문의 의미에 따라 변수를 설정합니다.

(2) 문제의 변수를 분석하고 각 부등식 관계를 기반으로 상수와 변수 x와 y 사이의 부등식을 나열합니다.

(3) 변수 x와 변수를 함께 사용하여 각 부등식을 만듭니다. y 의미 있는 실제 범위는 함께 취해져서 부등식 그룹을 형성합니다.