퍼지 수학은 수학에서 새롭게 떠오르는 주제이며 그 미래는 무한합니다.
1965년에 "Fuzzy Set"이라는 논문이 출판되었습니다. 저자는 미국 캘리포니아주립대학교 사이버네틱스 전문가로 유명한 L.A. 자데(L.A. Zadeh) 교수이다. 칸토어의 집합론은 현대 수학의 기초가 되었습니다. 물론 오늘날 누군가가 집합의 개념을 수정하는 것은 전례가 없는 일입니다. Zadeh의 퍼지 집합 개념은 퍼지 이론의 기초를 마련했습니다. 복잡한 시스템, 특히 인간 개입이 있는 시스템을 다루는 데 있어서의 단순성과 강력함으로 인해 이 이론은 고전 수학과 통계 수학의 단점을 어느 정도 보완했으며 빠르게 광범위한 주목을 받았습니다. 지난 40년 동안 이 분야는 이론에서 응용까지, 소프트 기술에서 하드 기술까지 유익한 결과를 얻었으며 관련 분야 및 기술, 특히 일부 첨단 및 신기술의 개발에 점점 더 중요한 영향을 미쳤습니다.
다음과 같은 고대 그리스 역설이 있습니다.
“씨앗 하나는 더미가 아니고, 씨앗 두 개도 아니고, 씨앗 세 개도 아닙니다. 1억 개의 씨앗을 더미라고 해야 한다는 데 동의합니다. 그러면 적절한 한도는 얼마입니까? 123,585개의 씨앗을 더미라고 부르지 않고 123,586개의 씨앗을 더미라고 말할 수 있습니까?”
실제로 "곡물"입니다. "와 "더미"는 서로 다른 개념입니다. 그러나 그 차이는 갑작스러운 것이 아니라 점진적이며, 둘 사이에는 명확한 경계가 없습니다. 즉, "더미"라는 개념은 어느 정도 모호함을 담고 있습니다. '늙었다', '키가 크다', '젊다', '매우 크다', '똑똑하다', '아름답다', '싸고 좋다' 등 유사한 개념이 나열된다.
고전적인 집합 이론에서는 요소가 집합에 속하는지 여부를 결정할 때 "예" 또는 "아니오"라는 두 가지 대답만 있습니다. 이를 설명하기 위해 0 또는 1 두 가지 값을 사용할 수 있습니다. 집합에 속하는 요소는 1로 표시되고 집합에 속하지 않는 요소는 0으로 표시됩니다. 하지만 위에서 언급한 '늙었다', '키가 크다', '젊다', '매우 크다', '똑똑하다', '아름답다', '싸고 좋다' 등의 상황은 훨씬 더 복잡하다. 키가 1.8미터인 사람을 키가 큰 사람으로 간주한다고 규정하면 키가 1.79미터인 사람도 포함됩니까? 고전 집합론의 관점에서 보면 그것은 중요하지 않습니다. 그러나 이는 상당히 불합리해 보인다. 원을 사용하는 경우 원 내부와 원주 위의 점은 집합 A를 나타내고 원 외부의 점은 A에 속하지 않음을 나타냅니다. A의 경계는 분명히 원입니다. 이것은 클래식 컬렉션의 그림입니다. 이제 키가 큰 사람들의 집합을 그래프로 표현하면 그 경계가 모호해집니다. 즉, 가변적입니다. 왜냐하면 요소(예: 키 1.75미터의 사람)의 키가 100%는 아니지만 여전히 상대적으로 키가 크고 어느 정도 키가 큰 사람 집합에 속하기 때문입니다. 이때, 원소가 집합에 속하는지 여부는 0과 1이라는 두 숫자만으로는 표현할 수 없고, 0과 1 사이의 어떤 실수라도 될 수 있다. 예를 들어 키가 1.75미터인 경우 70%가 키가 큰 사람 집합에 속한다고 할 수 있습니다. 장황해 보일 수도 있지만 더 실용적입니다.
정밀함과 모호함은 모순의 쌍이다. 상황에 따라서는 정확성이 필요할 때도 있고, 모호함이 필요할 때도 있습니다. 예를 들어, 전쟁에서 지휘관은 "새벽에 총격을 가하라"라는 명령을 내립니다. 이때는 정확해야 한다: “총공세는 초 단위 ×월 오차로 오전 6시에 출발한다. 그러나 상황은 반전되어야 합니다. 모든 것이 정밀성을 요구한다면 사람들은 원활하게 아이디어를 교환할 수 없을 것입니다. 두 사람이 만나 "잘 지내세요?"라고 묻습니다. 그러나 "좋은"이란 무엇이며 "좋은"에 대한 정확한 정의를 내릴 수 있는 사람은 누구입니까?
어떤 현상은 본질적으로 모호하기 때문에 정확하게 표현하려고 하면 현실에 적응하기 어려울 수밖에 없습니다. 예를 들어, 학생의 성적을 평가할 때 60점 이상이면 합격으로 간주한다고 규정되어 있습니다. 그러나 단 1점의 차이로 합격과 불합격을 구별할 수 있는 근거가 충분하지 않습니다.
모호한 경계를 지닌 컬렉션이 흔할 뿐만 아니라, 인간의 사고 역시 모호한 특성을 가지고 있습니다. 일부 현상은 정확하지만 적절한 퍼지화는 문제를 단순화하고 유연성을 크게 향상시킬 수 있습니다. 예를 들어, 밭에서 옥수수를 따는 경우 가장 큰 옥수수를 찾는 것은 번거롭고 거의 현학적인 일입니다. 우리는 옥수수밭에 있는 모든 옥수수를 측정하고 비교하여 결정해야 합니다. 작업량은 옥수수 밭의 면적에 정비례합니다. 토지 면적이 클수록 작업이 더 어려워집니다.
그러나 질문의 공식을 약간 변경하면 됩니다. 가장 큰 옥수수를 찾을 필요는 없지만 더 큰 옥수수를 찾으려면, 즉 일반적인 속담에 따르면 밭에 가서 큰 옥수수를 선택하십시오. 이 시점에서 문제는 정확한 것에서 모호한 것으로 바뀌지만, 동시에 불필요하게 복잡한 것에서 예상치 못한 단순한 것으로 바뀌기도 하며, 몇 가지 선택만으로 요구 사항을 충족할 수 있습니다. 일의 양은 토지와 관련이 없습니다. 그러므로 지나친 정확성은 오히려 현학적인 것이 되고, 적절한 모호함은 유연해진다.
물론 옥수수의 크기는 길이, 부피, 무게에 따라 달라집니다. 크기는 모호한 개념이지만 길이, 부피, 무게 등은 이론상으로는 모두 정확할 수 있습니다. 그러나 이러한 정확한 값은 실제로 옥수수 크기를 판단하는 데 일반적으로 필요하지 않습니다. 마찬가지로, "힙"이라는 모호한 개념은 정확한 "알갱이"를 기반으로 하며, 사람들은 앞에 있는 것이 더미라고 불리는지 판단할 때 "알갱이"를 셀 필요가 없습니다. 때때로 사람들은 모호함을 물리적 현상으로 생각합니다. 가까운 것은 선명하게 보이지만 멀리 있는 것은 선명하게 보이지 않습니다. 일반적으로 멀리 있을수록 흐릿해집니다. 그러나 예외가 있습니다. 해변에 서 있으면 해안선이 흐려지고, 높은 고도에서 내려다보면 해안선이 매우 선명하게 보입니다. 너무 높고 흐릿합니다. 정확성과 모호함 사이에는 본질적인 차이가 있지만 본질적으로 서로 관련되어 있으며 모순적이고 상호의존적이며 서로 변형될 수 있습니다. 따라서 정밀도의 나머지 절반은 모호함입니다.
모호성에 대한 논의는 아주 일찍부터 거슬러 올라갑니다. 20세기의 위대한 철학자 B. 러셀은 오늘날 우리가 '모호함'이라고 부르는 문제(엄격히 말하면 둘 다 다를 수 없음)에 대해 구체적으로 논의하면서 다음과 같이 분명히 지적했습니다. 신뢰할 수 없다." 러셀의 명성에도 불구하고 Journal of Southern Hemisphere Philosophy에 게재된 이 기사는 당시 학문적 관심을 불러일으키지는 못했습니다. 모호성 또는 모호성에 대한 큰 관심. 이는 문제가 중요하지 않아서도 아니고, 기사가 심오하지 않아서도 아니고, “아직 때가 이르지 않았기 때문”입니다. 러셀의 통찰력 있는 견해는 시대를 앞서 있었습니다. 오랫동안 사람들은 모호함을 경멸적인 용어로 여기고 정확성과 엄격함만을 존중해 왔습니다. 20세기 초반 사회의 발전, 특히 과학기술의 발달은 아직까지 모호성에 대한 연구가 필요하지 않았다. 사실, 퍼지 이론은 전자 컴퓨터 시대의 산물입니다. 사람들에게 정밀도의 한계에 대한 더 깊은 이해를 제공하고 그 반대 또는 "다른 절반"인 모호성에 대한 연구를 촉진한 것은 바로 이 매우 정밀한 기계의 발명과 광범위한 적용입니다.
자데는 1921년 2월 소련 바쿠에서 태어났다. 1942년 이란 테헤란대학교 전기공학과를 졸업하고 학사학위를 받았다. 그는 1944년 미국 매사추세츠공과대학(MIT)에서 전기공학 석사학위를, 1949년 미국 컬럼비아대학교에서 박사학위를 받았다. 이후 컬럼비아, 프린스턴 등 유명 대학에서 근무했다. 1959년부터 그는 캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스의 전기 공학 및 컴퓨터 과학과 교수로 재직하고 있습니다.
Zade는 1950년대 엔지니어링 사이버네틱스 연구에 참여하여 비선형 필터 설계에서 일련의 중요한 결과를 얻었으며, 이는 고전으로 간주되고 현장에서 널리 인용되었습니다. 1960년대 초, Zade는 다목적 의사결정 문제를 연구하고 비열등 솔루션과 같은 중요한 개념을 제안했습니다. 오랫동안 Zadeh는 의사결정, 제어 및 이와 관련된 일련의 중요한 문제에 대한 연구를 통해 전통적인 수학적 방법과 현대 전자 컴퓨터를 적용하여 이러한 문제를 해결하는 것의 성공과 실패를 통해 점차적으로 전통적인 수학적 방법의 한계를 깨달았습니다. 그는 “인간 지식 분야에서 퍼지가 아닌 개념이 중요한 역할을 하는 유일한 학과는 고전 수학”이라며 “인간의 인지 과정을 깊이 연구한다면 인간이 퍼지를 사용하는 능력을 발견할 수 있을 것”이라고 지적했다. 개념은 부담이라기보다 큰 자산입니다. 이는 인간 지능과 기계 지능의 근본적인 차이를 이해하는 열쇠입니다. "정확한 개념은 공통 집합으로 설명할 수 있습니다. 퍼지 개념은 해당 퍼지 집합으로 설명되어야 합니다. Zaide는 이 점을 포착하여 퍼지 집합의 정량적 설명에 획기적인 발전을 이루었고 퍼지 이론과 그 응용의 기초를 마련했습니다.
세트는 현대 수학의 기초입니다. 퍼지 세트가 제안되자마자 "퍼지"라는 개념은 수학의 여러 분야에도 침투했습니다. 퍼지 수학의 발전 속도도 상당히 빠르다. 발표된 논문을 보면 거의 기하급수적인 성장에 가깝습니다. 퍼지 수학에 대한 연구는 세 가지 측면으로 나눌 수 있습니다. 첫째, 퍼지 수학 이론과 정밀 수학과 통계 수학과의 관계에 대한 연구, 둘째, 퍼지 언어 및 퍼지 논리에 대한 연구, 퍼지 수학의 응용.
퍼지 수학 연구에는 현재 퍼지 토폴로지, 퍼지 그룹 이론, 퍼지 볼록 이론, 퍼지 확률, 퍼지 링 이론 등의 분야가 있습니다. 퍼지 수학은 새로운 학문 분야이지만 처음에는 자동 제어, 패턴 인식, 시스템 이론, 정보 검색, 사회 과학, 심리학, 의학 및 생물학 등에서 사용되었습니다. 미래에는 퍼지 논리회로, 퍼지 하드웨어, 퍼지 소프트웨어, 퍼지 펌웨어가 등장할 수도 있고, 자연어로 사람과 대화할 수 있고 인간 지능에 더 가까운 새로운 형태의 컴퓨터가 등장할 수도 있다. 따라서 퍼지 수학은 점점 더 큰 활력을 보여줄 것입니다.
이의는 없나요? 물론 있습니다. 일부 확률 이론가들은 퍼지 수학이 단지 확률 이론을 적용한 것이라고 믿습니다. 이론수학을 하는 어떤 사람들은 이것이 수학이 아니라고 말합니다. 응용 프로그램 작업을 하는 사람들은 의미는 있지만 실제로 실질적인 효과는 없습니다. 그러나 국제적으로 유명한 응용수학자 A. 카우프만(A. Kauffman) 교수는 중국 방문 중 "그들의 공격은 불합리하다. 남들이 뭐라고 하든 우리는 열심히 일할 뿐이다"라고 말했다.